Ce toponyme a été adopté dans le cadre de l'harmonisation des noms de rues, rendue nécessaire par le regroupement municipal du 1er janvier 2002.

Le nom Bickell avait été attribué autrefois au pont Lavigueur, qui se trouve tout près de cette rue. En 1869, William John Bickell fait construire un moulin à l'extrémité de la pointe aux Lièvres, une presqu'île créée par un méandre de la rivière Saint-Charles dans le quartier de Saint-Roch. Les ouvriers qui travaillent au moulin s'installent en face de la pointe, où naît bientôt une agglomération appelée Stadacona; celle-ci, avec d'autres villages, formera en 1893 la municipalité de Limoilou, devenue un arrondissement de la ville de Québec. Le pont Bickell, ou pont Stadacona, permet aux habitants de Stadacona de se rendre à Québec en passant par la pointe aux Lièvres. Dans la première décennie du 20e siècle, le pont est reconstruit en acier et rebaptisé Lavigueur, en l'honneur du maire Henri-Edgar Lavigueur.

Ancien toponyme
La rue Bickell portait auparavant le nom de rue de la Rive, adopté le 3 février 1955. Une rive est une portion, une bande de terre qui borde un cours d'eau important. La rue de la Rive doit son nom à sa situation près du rivage de la rivière Saint-Charles.